Question

5．在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、B（2，-1），若抛物线y=2（x-3）²+k与线段AB有交点，且与y轴相交于点C，则下列四种说法：①当k=0时，抛物线y=2（x-3）²+k与x轴有唯一公共点；②当x＞4时，y随x的增大而增大；③点C的纵坐标的最大值为2；④抛物线与x轴的两交点间的距离的最大值为$\sqrt{6}$；其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①把k=0代入y=2（x-3）²+k，由于方程2（x-3）²=0根的判别式△=0，所以抛物线y=2（x-3）²与x轴有唯一公共点，即可判断①正确；
②根据二次函数的增减性即可判断②正确；
③抛物线y=2（x-3）²+k过点A（2，4）时，点C的纵坐标最大，求出此时点C的纵坐标，即可判断③错误；
④抛物线y=2（x-3）²+k过点B（2，-1）时，与x轴的两交点间的距离最大，求出此时的值，即可判断④正确．

解答 解：①把k=0代入y=2（x-3）²+k，得y=2（x-3）²，
方程2（x-3）²=0即为2x²-12x+18=0，
∵△=12²-4×2×18=0，
∴方程2（x-3）²=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=2（x-3）²与x轴有唯一公共点，
即当k=0时，抛物线y=2（x-3）²+k与x轴有唯一公共点，故①正确；
②∵y=2（x-3）²+k中，
a=2＞0，开口向上，对称轴是直线x=3，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴当x＞4时，y随x的增大而增大，故②正确；
③∵抛物线y=2（x-3）²+k与线段AB有交点，且与y轴相交于点C，
∴抛物线y=2（x-3）²+k过点A（2，4）时，点C的纵坐标最大，
把A（2，4）代入y=2（x-3）²+k，得4=2（2-3）²+k，解得k=2，
此时抛物线是y=2（x-3）²+2，即y=2x²-12x+20，
此时点C的坐标为（0，20），即点C的纵坐标的最大值为20，故③错误；
④∵抛物线y=2（x-3）²+k与线段AB有交点，
∴抛物线y=2（x-3）²+k过点B（2，-1）时，与x轴的两交点间的距离最大，
把B（2，-1）代入y=2（x-3）²+k，得-1=2（2-3）²+k，解得k=-3，
此时抛物线是y=2（x-3）²-3，
解方程2（x-3）²-3=0，得x₁=3+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₂=3-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以抛物线与x轴的两交点间的距离的最大值为（3+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）-（3-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\sqrt{6}$，故④正确．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，根的判别式等知识，综合性较强，难度适中．