Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和点（1，0），且与y轴交于负半轴，给出下面四个结论：
①abc＜0；
②2a+b＞0；
③a+c=1；
④a-b＜2．
其中正确结论的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由抛物线的开口方向判断a的取值，由抛物线与y轴的交点判断c的取值，然后根据对称轴的位置确定b的符号；
②根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＜1，进行判断；
③将（-1，2）和点（1，0）代入二次函数y=ax²+bx+c中，进行整理可得结论；
④由③中的两个等式相减可得结论．

解答 解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，故abc＞0；
所以①不正确；
②由图象可知：对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞0且对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＜1，
∵a＞0，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0，
∴4a+b＞0；
所以②正确；
③由题意可知：当x=-1时，y=2，
∴a-b+c=2，
当x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，
a-b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，即a+c=1，
所以③正确；
④∵a+c=1，
∴移项得c=1-a，
又∵a＞0，c＜0，
∴a＞1，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{a-b+c=2}\end{array}\right.$得：b=-1，
∴a-b＞1-b，
∴a-b＞2，
所以④不正确；
所以本题正确的有：②③，两个；
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，要做好此类题，要明确以下几点：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0；没有交点，b²-4ac＜0．