Question

6．如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，那么$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先证明△ADB∽△ABC，则利用相似比得到$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，再设AD=x，CD=2x，则AC=3x，则利用相似比可表示出AB=$\sqrt{3}$x，然后计算$\frac{BD}{BC}$的值．

解答 解：∵∠ABD=∠C，
而∠DAB=∠BAC，
∴△ADB∽△ABC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，
由$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，设AD=x，CD=2x，则AC=3x，
∴$\frac{x}{AB}$=$\frac{AB}{3x}$，
∴AB=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；运用相似三角形的性质时只要利用相似比计算相应线段的长．解决本题的关键是设AD=x，CD=2x，然后用x表示出AB的长．