Question

【题目】如图，在中，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连接．

求证:；

当时，求的度数；

点是的外心，当点在直线上运动，且点恰好在内部或边上时，直接写出点运动的路径的长，

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）：∠E=65°或25°；（3）

【解析】

（1）（1）利用“边角边”证明即可；

（2）分两种情况：点D在线段BC上时和点D在BC延长线上时，利用全等三角形对应角相等，推出∠E=∠ADB，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ACB=∠CAB=45°，根据外角性质求出∠ADB，即可解答；

（3）过点B作BF垂直AC，交AC于F，作DC边的垂直平分线交BF于点P，过点F作FG⊥BC，交BC于点G，证明BF是AC的垂直平分线，从而推出点P即为三角形CAD的外心，根据点恰好在内部或边上，确定点运动的路径为BF，求BF的长即可.

（1）∵∠ABC=90°，

∴∠CBE=90°=∠ABC，

∵AB=CB， BE=BD，

∴ △ABD≌△CBE；

（2）当点D在线段BC上时，

∵△ABD≌△CBE，

∴∠E=∠ADB，

∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠ACB=∠BAC=45°，

∴∠E=∠ADB=45°+20°=65°；

当点D在BC延长线上时，如图，

∵△ABD≌△CBE，

∴∠BEC=∠ADB，

∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠ACB=∠BAC=45°，

∴∠BEC=∠ADB=45°-20°=25°；

综上：∠E=65°或25°.

（3）如图，过点B作BF垂直AC，交AC于F，作DC边的垂直平分线交BF于点P，过点F作FG⊥BC，交BC于点G，

∵BF⊥AC，

∴BF是AC的垂直平分线，

∴点P即为三角形CAD的外心.

∵P为BF上一点，

由题意可知点恰好在内部或边上，

∴点运动的路径为BF，

∵

∴，

∵BF是AC的垂直平分线，

∴BF=，

即点P的运动路径长为