题目内容

如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
考点：相似形综合题
专题：压轴题
分析：（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出
PH
BC
=
AP
AB
，从而求出AB，再根据
PH
3
=
5-t
5
，得出PH=3-
3
5
t，则△AQP的面积为：
1
2
AQ•PH=
1
2
t（3-
3
5
t），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，
AE
AC
=
AP
AB
，求出AE=-
4
5
t+4，再根据QE=AE-AQ，QE=
1
2
QC得出-
9
5
t+4=-
1
2
t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PE=-
3
5
t+3，与（2）同理得：QE=-
9
5
t+4，从而求出PQ=
18
5
t2-18t+25
，
在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5-t，②当PQ=AQ，即
18
5
t2-18t+25
=t，③当PQ=AP，即
18
5
t2-18t+25
=5-t，再分别计算即可．
解答：解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
PH
BC
=
AP
AB
，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴
PH
3
=
5-t
5
，
∴PH=3-
3
5
t，
∴△AQP的面积为：
S=
1
2
×AQ×PH=
1
2
×t×（3-
3
5
t）=-
3
10
（t-
5
2
）2+
15
8
，
∴当t为
5
2
秒时，S最大值为
15
8
cm2．

（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
AP
AB
，
∴AE=
AP•AC
AB
=
(5-t)×4
5
=-
4
5
t+4
QE=AE-AQ═-
4
5
t+4-t=-
9
5
t+4，
QE=
1
2
QC=
1
2
（4-t）=-
1
2
t+2，
∴-
9
5
t+4=-
1
2
t+2，
解得：t=
20
13
，
∵0＜
20
13
＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是
20
13
s；

（3）由（1）知，
PE=-
3
5
t+3，与（2）同理得：QE=AE-AQ=-
9
5
t+4
∴PQ=
PE2+QE2
=
(-
3
5
t+3)2+(-
9
5
t+4)2
=
18
5
t2-18t+25
，
在△APQ中，
①当AQ=AP，即t=5-t时，解得：t1=
5
2
；
②当PQ=AQ，即
18
5
t2-18t+25
=t时，解得：t2=
25
13
，t3=5；
③当PQ=AP，即
18
5
t2-18t+25
=5-t时，解得：t4=0，t5=
40
13
；
∵0＜t＜4，
∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，
∴当t为
5
2
s或
25
13
s或
40
13
s时，△APQ是等腰三角形．
点评：此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
练习册系列答案
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（2）判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
（1）计算：（-2）2-
4
+（
1
3
）-1-
1
2
sin30°；
（2）解方程组
3x+y=4；(1)
2x-y=1．(2)
．
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计算：
4
+|-2|+（-6）×（-
2
3
）．
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．
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 m．
化简：
MN
-
MP
+
NP
=
 
．

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