Question

如图所示，点G是△ABC的重心，GA⊥GB，AB=5，则AC²+BC²的值为

 

．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：计算题

分析：延长AG交BC于E，延长BG交AC于D，如图，根据重心的定义得到AD=

1

2

AC，BE=

1

2

BC，再利用勾股定理得AD²=AG²+GD²，BE²=BG²+GE²，则AD²+BE²=AG²+GD²+BG²+GE²，再根据重心的性质得GD=

1

2

BG，GE=

1

2

AG，所以AD²+BE²=

5

4

（AG²+BG²）=

5

4

•AB²=

125

4

，于是AC²+BC²=4AD²+4BE²=125．

解答：解：延长AG交BC于E，延长BG交AC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AE和BD为△ABC的中线，即AD=

1

2

AC，BE=

1

2

BC，
∵GA⊥GB，
∴∠AGB=90°，
在Rt△AGD中，AD²=AG²+GD²，
在Rt△BGE中，BE²=BG²+GE²，
∴AD²+BE²=AG²+GD²+BG²+GE²，
∵点G是△ABC的重心，
∴GD=

1

2

BG，GE=

1

2

AG，
∴AD²+BE²=AG²+

1

4

BG²+BG²+

1

4

AG²
=

5

4

（AG²+BG²）
=

5

4

•AB²
=

5

4

•25
=

125

4

，
∴AC²+BC²=4AD²+4BE²=4•

125

4

=125．
故答案为125．

点评：本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．