Question

【题目】如图，点E是平行四边形ABCD的边BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC、BF,∠AEC=2∠ABC；(1)求证:四边形ABFC是矩形；(2)在(1)的条件下,若△AFD是等边三角形,且边长为4,求四边形ABFC的面积。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对顶角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；进而得出AB=FC，即可得出四边形ABFC是平行四边形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四边形ABFC是矩形．

（2）由等边三角形的性质得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性质得出∠ACF=90°，得出AC=CF=2，即可得出四边形ABFC的面积=ACCF=4．

解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠ABE=∠ECF，

又∵E为BC的中点

∴BE=CE，

在△ABE和△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE（ASA）；

∴AE=EF，AB=CF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵∠AEC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE，

∴∠ABC=BAE，

∴AE=BE

∵AE=EF，BE=CE，

∴AF=BC，

∴平行四边形ABFC是矩形；

（2）∵△AFD是等边三角形，

∴∠AFC=60°，AF=DF=4，

∴CF=CD=2，

∵四边形ABFC是矩形，

∴∠ACF=90°，

∴AC=CF=2，

∴四边形ABFC的面积=ACCF= ．