Question

【题目】（12分）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；

（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

Answer 1

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）详见解析；（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．

【解析】

试题（1）根据正方形的性质，易证△APE≌△DPF，即可得AE=DF，所以DE+DF=AD；（2）取AD的中点M，连接PM，根据菱形的性质，即可得△MDP是等边三角形，利用SAS易证△MPE≌△FPD，再由全等三角形的对应边相等可得ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD；（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．

试题解析：解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD；

（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，

∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，

∴△MDP是等边三角形，

∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，

∵∠PAM=30°，

∴∠MPD=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△FPD中，

∴△MPE≌△FPD（ASA）

∴ME=DF，

∴DE+DF=AD；

（3）如图，

在整个运动变化过程中，

①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，

②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，

即AD＜DE+DF≤AD．