Question

3．点D、E、F分别在△ABC的BC，CA，AB边上，∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF，BE、CF交于点M，CF、AD交于点N，且满足∠BMF=2∠CND，那么∠BAC等于$\frac{180}{7}$（度）．

Answer 1

分析 由∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF易得各角与∠ABC、∠ACB、∠BAC之间的关系，由三角形外角等于不相邻的两个内角和表示出∠BMF与∠CND，再利用∠BMF=2∠CND可得出∠ABC+∠ACB=6∠BAC，再结合三角形内角和为180°可得出结论．

解答 解：∵∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF，
∴∠CAD=$\frac{3}{4}$BAC，∠BAD=$\frac{1}{4}$∠BAC，∠ABE=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠EBC=$\frac{1}{4}$∠ABC，∠BCF=$\frac{3}{4}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{4}$∠ACB．
∠BMF=∠EBC+∠BCF=$\frac{1}{4}$∠ABC+$\frac{3}{4}$∠ACB；
∠CND=∠CAD+∠ACF=$\frac{3}{4}$∠BAC+$\frac{1}{4}$∠ACB；
∵∠BMF=2∠CND，即$\frac{1}{4}$∠ABC+$\frac{3}{4}$∠ACB=2×（$\frac{3}{4}$∠BAC+$\frac{1}{4}$∠ACB），
∴∠ABC+∠ACB=6∠BAC，
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=$\frac{180°}{7}$．
故答案为：$\frac{180}{7}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角定理．解题的关键是由∠BMF=2∠CND找出∠ABC+∠ACB=6∠BAC．本题属于中档题，难度不大，但在角的变化上稍显繁琐，一不注意就易失分，做形如此类题型时，牢牢把握等量关系是关键．