Question

8．对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n-$\frac{1}{2}$≤x＜n+$\frac{1}{2}$，则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞=3（π为圆周率）；
②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为$\frac{7}{4}≤x＜\frac{9}{4}$；
（2）试举例说明：当x=0.6，y=0.7时，＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（3）求满足＜x＞=$\frac{4}{3}$x的所有非负实数x的值．

Answer 1

分析 （1）根据取近似值的方法确定x的取值范围即可，反过来也可确定未知数的值；
（2）分0≤a＜$\frac{1}{2}$时和$\frac{1}{2}$≤a＜1时两种情况分类讨论即可；
（3）据取近似值的方法确定x的取值范围即可．

解答 解：（1）①3＜π；
②如果＜2x-1＞=3，可得$\frac{7}{4}≤x＜\frac{9}{4}$；
故答案为：3；$\frac{7}{4}≤x＜\frac{9}{4}$；
（2）说明：设x=n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分 （0≤a＜1）
分两种情况：
（Ⅰ）当0≤a＜$\frac{1}{2}$时，有＜x＞=n
∵x+y=（n+y）+a，
这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a为（x+y）的小数部分，
∴＜x+y＞=n+y
又＜x＞+y=n+y
∴＜x+y＞=＜x＞+y．
（Ⅱ）当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，有＜x＞=n+1
∵x+y=（n+y）+a
这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a为（x+y）的小数部分，
∴＜x+y＞=n+y+1
又＜x＞+y=n+1+y=n+y+1
∴＜x+y＞=＜x＞+y．
综上所述：＜x+y＞=＜x＞+y，此时x=0.6，y=0.7；
故答案为：0.6；0.7；
（3）设$\frac{4}{3}x=k$（k为非负整数），则x=$\frac{3}{4}k$，根据题意可得：
$k-\frac{1}{2}≤\frac{3}{4}k≤k+\frac{1}{2}$，
即-2≤k≤2，
则k=0，1，2，
x=0，$\frac{3}{4}，\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据取近似值的方法确定x的取值范围．