Question

如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求△AEF面积最大为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,勾股定理

专题：

分析：首先设BE=x，则AE=6-x，由在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，利用勾股定理即可求得BC的长，利用三角函数的定义即可求得cos∠B=

AB

BC

=

3

5

，cos∠C=

AC

AB

=

4

5

，继而可求得BP，CE的长，则由S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

（6-x）•

4

3

x，利用二次函数的性质，即可求得△AEF面积最大值．

解答：解：设BE=x，则AE=6-x，
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=

AB2+AC2

=10，
∴cos∠B=

AB

BC

=

3

5

，cos∠C=

AC

AB

=

4

5

，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴在Rt△BPE中，BP=

BE

cos∠B

=

x

3 5

=

5

3

x，
∴CP=BC-BP=10-

5

3

x，
在Rt△CPF中，CF=CP•cos∠C=

4

5

（10-

5

3

x）=8-

4

3

x，
∴AF=AC-CF=8-（8-

4

3

x）=

4

3

x，
∴S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

（6-x）•

4

3

x=-

2

3

（x²-6x）=-

2

3

（x-3）²+6，
∴△AEF面积最大为6．
故答案为：6．

点评：此题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，解题的关键是掌握三角函数的定义及应用，掌握数形结合思想的应用．