Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根，其满足（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80．求实数a的所有可能值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：根据△的意义由一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，由（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80变形得到3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，于是有3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，解方程得到a=3或a=-

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5

，然后代入△验算即可得到实数a的值．

解答：解：∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根，
∴△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0
所以a≥5或a≤1．…（3分）
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，
∵（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，即3（x₁²+x₂²）-10x₁x₂=-80，
∴3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，
整理得，5a²+18a-99=0，
∴（5a+33）（a-3）=0，解得a=3或a=-

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，
当a=3时，△=9-6×3+5=-4＜0，故舍去，
当a=-

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时，△=（-

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）²-6×（-

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）+6=（

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）²+6×

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+6＞0，
∴实数a的值为-

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点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．