Question

11．如图，矩形OABC的顶点A、C坐标分别是（8，0）、（0，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB、BC分别交于D、E两点，连结OD、OE、DE，则△ODE的面积为15．

Answer 1

分析 设直线AC的解析式为y=ax+b，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再由反比例函数与AC相切求出k值，由此即可找出D、E的坐标，利用分割图形求面积法即可得出结论．

解答 解：设直线AC的解析式为y=ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{0=8a+b}\\{4=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
将y=$\frac{k}{x}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+4中，整理得：x²-8x+2k=0，
∵反比例函数与直线AC只有一个交点，
∴△=（-8）²-8k=0，解得：k=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$．
令y=$\frac{8}{x}$中x=8，则y=1，
∴D（8，1），
令y=$\frac{8}{x}$中y=4，则x=2，
∴E（2，4）．
∴S_△ODE=S_矩形OABC-S_△OCE-S_△OAD-S_△BDE=4×8-$\frac{1}{2}$×8-$\frac{1}{2}$×8-$\frac{1}{2}$×（8-2）×（4-1）=15．
故答案为：15．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、根的判别式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出点D、E的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由相切根据根的判别式找出反比例函数解析式是关键．