Question

18．如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．
（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中，∠AHC的大小是否始终为90°，请说明理由；
（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，
①求DH的最大值；
②直接写出DH的最小值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABE≌△CBG，得到∠BAE=∠BCG，再进行简单的代换即可；
（2）①先判断出点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，得到DH最大就是大正方形的对角线，即可；
②先由AE恒垂直CG于H，判断出当AE垂直于BE时，DH最短．如图所示，得到点A，E，F（H）共线，再利用勾股定理和直角三角形的一条直角边等于斜边的一边，得出∠BAE=30°，再利用三角函数和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）是，理由如下：
由旋转知，∠ABE=CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE=∠BCG，
∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180°
∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°，
∴∠AHC=∠ABC=90°，
（2）①∵∠AHC=90°
∴点H在以AC为直径的圆上，
由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°，
∴点B，D也在以AC为直径的圆上，
∴点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴BD也是这个圆的直径，
∴当H与点B重合时，DH最大为2$\sqrt{2}$，
②解：（1）是，理由如下：
由旋转知，∠ABE=CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE=∠BCG，
∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180°
∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°，
∴∠AHC=∠ABC=90°，
（3）①∵∠AHC=90°
∴点H在以AC为直径的圆上，
由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°，
∴点B，D也在以AC为直径的圆上，
∴点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴BD也是这个圆的直径，
∴当H与点B重合时，DH最大为2$\sqrt{2}$，
∵点A，B，H，C，D五点共圆，
∴当∠DAH最小时，DH最小，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE最大时，DH最小，
∴当AE⊥BE时，∠BAE最大是30°，
∵AE恒垂直CG于H，
∴当AE垂直于BE时，DH最短．
如图，

∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AB=2，BE=1，
∴AE=$\sqrt{3}$，∠BAE=30°，
∵点A，E，F共线，
∴AF=AE+EF=$\sqrt{3}$+1，
作FM⊥AD，
FM∥AB，
∴∠AFM=∠BAE=30°，
∴FM=AFcos∠AFM=（$\sqrt{3}$+1）cos30°=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
AM=AFsin∠AFM=（$\sqrt{3}$+1）sin30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴DM=AD-AM=2-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DMF中，根据勾股定理得，DH=DF=$\sqrt{D{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
即：DH的最小值为$\sqrt{6}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转过程中极值的确定方法，还用到了三角函数的意义，解本题的关键是作出图形．