Question

6．如图，在△ABC中，AC的中点为D，BC的中点为E，F是DE的中点，动点G在边AB上，连接GF，延长GF到点H，使HF=GF，连接HD，HE．
（1）求证：四边形HDGE是平行四边形．
（2）已知∠C=90°，∠A=30°，AB=4．
①当AG为何值时，四边形HDGE是矩形；
②当AG为何值时，四边形HDGE是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的判定直接推出；
（2）根据直角三角形的性质得到AB=4，求得AC=2$\sqrt{3}$，BC=4×$\frac{1}{2}$=2，∠B=60°，根据三角形的中位线得到BE=1，DE=2，AD=$\sqrt{3}$，DF=EF=1，根据平行线的性质得到∠CBD=∠B=60°，①当AG=3或2时，四边形HDGE是矩形．当AG=3时，根据全等三角形的性质得到∠DGE=∠DCE=90°，于是得到四边形HDGE是矩形；
当AG=2时，则AG=BG，推出∠DCE=90°，于是得到四边形HDGE是矩形；②过F作MN⊥DE，交AC于M，AB与N，根据全等三角形的性质得到∠MDF=∠A=30°根据线段垂直平分线的性质得到ND=NE，求得AN=AM•com∠A=$\frac{5}{2}$，当AG=AN=$\frac{5}{2}$时，G在DE的中垂线上，根据菱形的判定即可得到结论．

解答 （1）证明：∵HF=GF，DF=EF，
∴四边形HDGE是平行四边形；

（2）解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4，
∴AC=AB•com∠A=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，BC=4×$\frac{1}{2}$=2，∠B=60°，
∵AC的中点为D，BC的中点为E，F是DE的中点，
∴BE=1，DE=$\frac{1}{2}$AB=2，AD=CD=$\sqrt{3}$，DF=EF=1，DE∥AB，
∴∠CBD=∠B=60°，
①当AG=3或2时，四边形HDGE是矩形，
当AG=3时，如图1，BG=4-3=1，
∴BG=CE，
BG=BE=EG=1=CE，DE=DE，∠CED=∠DEG=60°，
在△DGE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=GE}\\{∠CED=∠DEG}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DCE，
∴∠DGE=∠DCE=90°，
∴四边形HDGE是矩形；
当AG=2时，则AG=BG，
∴DG∥CE，EG∥AC，H，C重合，
∴∠DCE=90°，∴四边形HDGE是矩形，如图2；
②过F作MN⊥DE，交AC于M，AB与N，
∵DE∥AB，
∴MN⊥AB，∠MDF=∠A=30°，
∵F是DE的中点，
∴MN是线段DE的垂直平分线，
∴ND=NE，
∵DF=1，MB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵AD=$\sqrt{3}$，
∴AM=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴AN=AM•com∠A=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
当AG=AN=$\frac{5}{2}$时，G在DE的中垂线上，DG=GE，四边形HDGE是菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形，菱形的判定，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义，综合性强，要注意分类思想的应用，熟练掌握矩形，菱形的判定方法是解题的关键．