Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F．
（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长；
（2）设$\frac{DC}{BC}=x$，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；
（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求$\frac{CE}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AM⊥DF于M，只要证明△AEM≌△BED得ME=DE，再根据中位线定理、垂径定理即可解决．
（2）先证明四边形AMDC是矩形，再利用$\frac{AM}{BD}$=$\frac{ME}{ED}$即可解决问题．
（3））如图2中，因为点O是重心，所以AM、CN是中线，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，利用（2）的结论先求出ED、EF，由△BDE∽△FDB得$\frac{BD}{DF}$=$\frac{ED}{BD}$可以求出a，再求出AB、CE即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作AM⊥DF于M．
∵AM⊥EF，
∴FM=ME，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠C=∠AME=90°，
∴AM∥BC，AC∥DF，
∵BD=DC，
∴BE=AE，
∴ED=$\frac{1}{2}$AC=1，
在△AEM和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠AME=∠BDE}\\{∠AEM=∠BED}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BED，
∴ME=ED=1，
∴EF=2ME=2．
（2）如图1中，∵$\frac{DC}{BC}$=x，
∴$\frac{DB}{BC}$=1-x，
∵ED∥AC，
∴$\frac{ED}{AC}$=$\frac{DB}{BC}$，
∴DE=2（1-x），
∵AM∥CD，AC∥DM，
∴四边形AMDC是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴四边形AMDC是矩形，
∴AM=CD，
∵$\frac{AM}{BD}$=$\frac{ME}{ED}$，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{ME}{ED}$=$\frac{x}{1-x}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}y}{2（1-x）}$=$\frac{x}{1-x}$，
∴y=4x．
（3）如图2中，∵点O是重心，
∴AM、CN是中线，
∴BN=AN，BM=MC，
∵MN∥AC，MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{MO}{AO}=\frac{MN}{AC}=\frac{MD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，
由（2）可知x=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF=4x=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{ED}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{4a}{6a}$=$\frac{2}{3}$，
∴ED=$\frac{4}{3}$，DF=$\frac{8}{3}$，
∵DF∥AC，
∴∠FEA=∠EAC，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠EAC=∠AFE，
∵∠AFE+∠BFE=90°，∠EAC+∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠EBD，∵∠BDE=∠BDF，
∴△BDE∽△FDB，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{ED}{BD}$，
∴$\frac{4a}{\frac{8}{3}}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4a}$，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（负根以及舍弃）．
∴BC=6a=2$\sqrt{2}$，
在RT△ABC中，AB=$\sqrt{C{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
在RT△ECD中，EC=$\sqrt{C{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、重心的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，知道重心把中线线段分成1：2两部分，属于中考压轴题．