Question

如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∠BCD=135°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于G，交BA延长线于F，AD=4cm．求BF长．

Answer 1

考点：直角梯形,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：求出DG=CG，根据矩形的性质求出AB=CG=DG，求出AG=AF，推出BF=AD，代入求出即可．

解答：解：连接CG，
∵EF是CD的垂直平分线，而G在EF上，
∴△CGD为等腰三角形，CG=CD，
∴∠D=∠GCD=45°，
∵BC∥AD，
∴∠DCB=180°-∠D=135°，
∴∠GCB=135°-45°=90°，
∵∠B=90°，
∴平行四边形CBAG是矩形，
∴AB=CG，
∵CG=GD，
∴DG=AB，
∵∠D=45°，
∴∠DGE=∠GED-∠D=90°-45°=45°，
则∠DGE的对角∠FGA=45°
∵∠BAG=90°，
∴∠F=∠BAG-∠FGA=45°=∠FGA，
∴AF=AG，
∴AF+AB=AG+DG，
即BF=AD=4cm．

点评：本题考查了矩形的 性质和判定，直角梯形的性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，题目比较典型，综合性比较强．