Question

15．阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面积．
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•r，S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•r，S_△OCA=$\frac{1}{2}$CA•r
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•r+$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$CA•r=$\frac{1}{2}$l•r
∴r=$\frac{2s}{l}$（可作为三角形内切圆半径公式）
根据上述阅读材料完成下列各题：
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

Answer 1

分析 （1）首先证明三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可．
（2）连接OA、OB、OC、OD．由S_{四边形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△AOD，由S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AB•r+$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$CD•r+$\frac{1}{2}$AD•r=$\frac{1}{2}$（a+b+c+d）•r=S，即可推出r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$．
（3）类似（2）可得r=$\frac{2S}{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+…+{a}_{n}}$．

解答 解：（1）∵5²+12²=25+144=169=13²，
∴边长分为5、12、13的三角形是直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$×5×12=$\frac{1}{2}$（5+12+13）•r，
∴r=2，
∴边长分为5、12、13的三角形内切圆半径为2．

（2）如图（二）中，连接OA、OB、OC、OD．

∵S_{四边形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△AOD
又∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•r，S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•r，S_△OCD=$\frac{1}{2}$CD•r，S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•r，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AB•r+$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$CD•r+$\frac{1}{2}$AD•r=$\frac{1}{2}$（a+b+c+d）•r=S，
∴r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$．

（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，
其内切圆半径r=$\frac{2S}{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+…+{a}_{n}}$．

点评 本题考查三角形内切圆与内心、三角形的面积公式、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．