Question

9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线L经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、D坐标代入抛物线可求得抛物线的函数表达式，则抛物线的对称性可求得B点坐标，由D点坐标可求得直线OD的解析式，则可求得E点坐标；
（2）结合（1）可知OE=CE，由全等三角形的性质可知OF=CF，可知点F在线段OC的垂直平分线上，则可求得F点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得F点的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{4a-2b-8=0\;\;\;\;}\\{36a+6b-8=-8}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}{x^2}-3x-8$；
∵$y=\frac{1}{2}{x^2}-3x-8=\frac{1}{2}{（{x-3}）^2}-\frac{25}{2}$，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）．
∴点B的坐标为（8，0），
设直线L的函数表达式为y=kx．
∵点D（6，-8）在直线L上，
∴6k=-8，解得k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线L的函数表达式为y=-$\frac{4}{3}$x，
∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-$\frac{4}{3}$×3=-4，
∴点E的坐标为（3，-4）；

（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，
∴$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，解得x=3±$\sqrt{17}$，
∴点F的坐标为（3-$\sqrt{17}$，-4）或（3+$\sqrt{17}$，-4）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点F在线段OC的垂直平分线上是解题的关键．本题考查知识点较多，难度适中．