Question

14．如图，A，B，C为⊙O上的点，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E，AB=5，BE=$\sqrt{21}$，CE=$\sqrt{5}$，求AD的长．

Answer 1

分析 连接AC、CD，由勾股定理求出AE=2，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=3，由圆周角定理得出∠ACD=90°，∠B=∠D，证明△ABE∽△ADC，得出对应边成比例，即可得出AD的长．

解答 解：连接AC、CD，如图所示：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-21}$=2，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+5}$=3，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠AEB，
又∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}$，即$\frac{2}{3}=\frac{5}{AD}$，
解得：AD=7.5．

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．