Question

18．已知：如图，四边形ABCD是正方形，等腰直角三角板AEF以A为顶点顺时针旋转，其中∠E=90°，∠EAF=45°，
（1）若AE与CD交于点M，AF与BC交于点N，如图1，求证：MN=DM+BN；
为了证明上述结论，小明进行了如下作图：如图，延长CB到M′，使BM′=DM，连接AM．
请你按照小明的思路完成证明过程，并在证明过程中写出依据．
（2）第（1）问中△ABM′可以看做是由△ADM经过图形的变换得到，请你描述这个图形变换以A为旋转中心，将△ADM顺时针旋转90°得到△ABM′．；
（3）当∠EAF=45°，等腰直角三角板AEF以A为顶点顺时针继续旋转，若AE与CD的延长线交于点M，AF与CB的延长线交于点N，如图2，请写出此时线段MN、DM、BN之间的关系MN=DM=BN，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ADM≌△ABM′，再证明△ANM′≌△ANM，推出MN=NM′=BN+BM′=BN+DM．
（2）以A为旋转中心，将△ADM顺时针旋转90°得到△ABM′；
（3）结论：MN=DM-BN．如图2中，以A为旋转中心，将△ADM顺时针旋转90°得到△ABM′．由△ANM′≌△ANM，可得MN=NM′，推出MN=BM′-BN=DM-BN；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°，
∴∠ABM′=90°，
在△ADM和△ABM′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠D=∠ABM′=90°}\\{DM=BM′}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABM′，
∴∠1=∠2，AM=AM′，BM′=DM，
∵∠DAB=90°，∠3=45°，
∴∠1+∠4=45°，
∴∠2+∠4=45°，
∴∠NAM′=∠3=45°，
在△AMN和△AM′N中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠NAM′=∠3}\\{AM′=AM}\end{array}\right.$，
∴△ANM′≌△ANM，
∴MN=NM′，
∴MN=BN+BM′=BN+DM．

（2）解：以A为旋转中心，将△ADM顺时针旋转90°得到△ABM′．
故答案为：以A为旋转中心，将△ADM顺时针旋转90°得到△ABM′．

（3）解：结论：MN=DM-BN．
理由：如图2中，以A为旋转中心，将△ADM顺时针旋转90°得到△ABM′．

同法可证：∴△ANM′≌△ANM，
∴MN=NM′，
∴MN=BM′-BN=DM-BN．
故答案为MN=DM-BN．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质．旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．