题目内容
7．如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；
（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE=$\frac{1}{9}$S△ABO，求此时点P的坐标；
（3）在（2）中，若动点P到达点A后沿AD方向以原速度继续向点D运动，PE与DC边交于点F，如图2，是否存在这样的t值，使得S△PBE=$\frac{1}{9}$S△ABO？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先解一元二次方程x2-7x+12=0求得OA、OB的长，再运用勾股定理即可求得AB的长；
（2）先由（1）中OA、OB的长得出A、B两点的坐标，再根据平行四边形的性质得到C、D两点的坐标，然后利用待定系数法即可求出CD的所在直线的函数关系式；
（3）先由PE∥OA，得出△PBE∽△ABO，列出比例式，得到BE、PE的长，再根据S△PBE=$\frac{1}{9}$S△ABO，列出关于t的方程，解方程即可；
（4）先由AP=t-5，得出BE=t-2，CE=t-8，PD=11-t，再根据△PDF∽△ECF，得出PF=$\frac{44-4t}{3}$，然后由S△PBF=$\frac{1}{9}$S△ABO列出关于t的方程，解方程即可
解答 解：（1）∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴（x-3）（x-4）=0，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理，得AB=5；
（2）∵OA=4，OB=3，
∴A点坐标为（0，4），B点的坐标为（-3，0），
∵?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，
∴D点坐标为（6，4），BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴C点坐标为（3，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，则
6k+b=4，3k+b=0，
k=$\frac{4}{3}$，b=-4，
故直线CD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-4；
（3）∵PE∥OA，
∴△PBE∽△ABO，
∴BE：BO=PE：AO=BP：BA，即BE：3=PE：4=t：5，
∴BE=$\frac{3}{5}$t，PE=$\frac{4}{5}$t，
∵S△PBE=$\frac{1}{9}$S△ABO，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{9}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得t=±$\frac{5}{3}$（负值舍去），
∴t=$\frac{5}{3}$，
∴BE=1，PE=$\frac{4}{3}$
∴OE=OB-BE=3-1=2，
∴此时点P的坐标为（-2，$\frac{4}{3}$）；
（4）存在这样的t值，能够使得S△PBF=$\frac{1}{9}$S△ABO．理由如下：
如图2．∵BA+AP=t，
∴AP=t-5，
∴BE=BO+OE=3+t-5=t-2，CE=OE-OC=t-5-3=t-8，PD=AD-AP=6-t+5=11-t．
∵PD∥CE，
∴△PDF∽△ECF，
∴PD：EC=PF：EF，
∴PD：（PD+EC）=PF：（PF+EF），
（11-t）：（11-t+t-8）=PF：4，
∴PF=$\frac{44-4t}{3}$．
∵S△PBF=$\frac{1}{9}$S△ABO，
∴$\frac{1}{2}$PF×BE=$\frac{1}{9}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{44-4t}{3}$×（t-2）=$\frac{2}{3}$，
整理，得t2-13t+23=0，
解得t=$\frac{13+\sqrt{77}}{2}$或t=$\frac{13-\sqrt{77}}{2}$（舍）
即：t=$\frac{13+\sqrt{77}}{2}$．
点评 此题是四边形综合题，涉及到平行四边形的性质，解一元二次方程，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定及动点问题、存在性问题等知识，本题中用含t的代数式正确表示出三角形的底与高是解题的关键．
如图①，在△ABC和△ADE中，AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE．
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果$\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{AC}$，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．请计算黄金比．