Question

如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP=

 

°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）猜想∠QEP=60°；
（2）以∠DAC是锐角为例进行证明，如图2，根据等边三角形的性质得AC=BC，∠ACB=60°，再根据旋转的性质得CP=CQ，∠PCQ=6O°，则∠ACP=∠BCQ，
根据“SAS”可证明△ACP≌△BCQ，得到∠APC=∠Q，然后利用三角形内角和定理可得到∠QEP=∠PCQ=60°； 
（3）连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，则AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，易得∠APC=30°，∠PCB=45°，则可判断△ACH为等腰直角三角形，所以AH=CH=

2

2

AC=2

2

，在Rt△PHC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PH=

3

CH=2

6

，于是可计算出PA=PH-AH=2

6

-2

2

，所以BQ=2

6

-2

2

．

解答：解：（1）∠QEP=60°；
证明：连接PQ，
∵PC=CQ，且∠PCQ=60°，
则△CQB和△CPA中，

PC=QC ∠PCQ=∠ACB AC=BC

，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°．
故答案为：60；

（2）∠QEP=60°．以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，

CA=CB ∠ACP=∠BCQ CP=CQ

，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°； 

（3）连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，
与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=

2

2

AC=

2

2

×4=2

2

，
在Rt△PHC中，PH=

3

CH=2

6

，
∴PA=PH-AH=2

6

-2

2

，
∴BQ=2

6

-2

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．