Question

如图，在一张长方形纸片ABCD中，AB=3

3

，AD=m，边AB的中垂线分别交于AB、CD于点E、F；在边BC上取一点H（即AH为折痕），使得△ABH沿AH折叠后点B恰好落在线段EF上，设为点G．
（1）按上述描述画出图形（要求尺规作图，不写作法，保留画图痕迹）；
（2）求证：△ABG是等边三角形；
（3）若要使图形折叠后点A、G、C在一直线上，试求m的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）先根据基本作图的方法作出线段AB的垂直平分线EF，在EF上取一点G，使AG=AB，连结GH，则△AGH与△ABH关于AH成轴对称；
（2）连接GB，由中垂线的性质就可以得出AG=BG，由轴对称的性质就可以得出AG=AB而得出结论；
（3）由（2）的结论就可以得出∠CAB=60°，由勾股定理就可以求出BC的值，得出结论．

解答：解：（1）由题意作出图形，如图1．

（2）如图2，连接GB，
∵EF垂直平分AB，点G在EF上，
∴AG=GB．
∵△AGH与△ABH关于AH对称，
∴△AGH≌△ABH，
∴AG=AB，
∴AG=AB=GB，
∴△ABG是等边三角形；
（3）如图2，
∵△ABG是等边三角形，
∴∠CAB=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．AD=BC=m，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB．
∵AB=3

3

，
∴AC=6

3

．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC=9，
∴m=9．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，尺规作图的运用，垂直平分线的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，勾股定理的性质的运用，解答时证明三角形ABG是等边三角形是关键．