Question

13．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；　　
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明∠ADE=∠BEC和∠A=∠B，得到△ADE∽△BEC；
（2）根据题意画图即可；
（3）根据相似三角形的性质和折叠的性质解答即可．

解答 解：（1）∵∠A=∠DEC=45°
∴∠ADE+∠AED=135°，∠BEC+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEC，
又∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；
（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，CE=AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE=$\frac{BC}{EC}$，
∴$\frac{BC}{EC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的综合应用，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．