Question

1．已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定定理得出即可；
（2）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．

解答 （1）证明：∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）解：当AB=AC时，四边形ADCF为矩形，
理由是：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠BDE}\\{∠AFE=∠DBE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
∵AB=AC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形，
即当AB=AC时，四边形ADCF为矩形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键