Question

问题：探索等腰三角形─腰上的高与底边所成的角与顶角的关系．
（1）为了解决这个问题，我们可从特殊情形入手，如图（1），△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是AC边上的高，则∠DBC=

 

°．如图（2），△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是AC边上的高，则∠DBC=

 

°．如图（3），△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BD是AC边上的高，则∠DBC=

 

°；
（2）猜想，∠A与∠DBC的关系是

 

；
（3）对上述猜想，请你作出解释．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：探究型

分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．

解答：解：（1）如图（1）：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．
∵∠A=40°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=70°；
∴∠DBC=90°-70°=20°．
如图（2）：△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高；
∵∠A=90°且AB=AC，
∴A点和D点重合；
在Rt△BDC中，∠BDC=90°；
∴∠DBC=90÷2=45°；
如图（3）：△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高；
∵∠A=120°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-120°）÷2=30°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=30°；
∴∠DBC=90°-30°=60°．

（2）根据以上的解答猜想；∠DBC=

1

2

∠A．

（3）在△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高，那
么∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）÷2=90°-

1

2

∠A，
在Rt△BDC中，∠DBC=90°-（90°-

1

2

∠A）=

1

2

∠A．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．求一个角的大小，常常通过三角形内角和来解决，注意应用．