Question

4．已知：在正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，连接CP，作PE⊥PC交直线AB于E，作EQ⊥BD交直线BD于Q．
（1）在图1中，当点P与对角线交点O重合时，易知点E，点Q都与点B重合，猜想CD与PQ的数量关系为CD=$\sqrt{2}$PQ；
（2）如图2，当P在线段DO上（不与D、O重合）移动时，（1）中的猜想还成立么，若成立，请证明；不成立请说明理由．
（3）当P在线段BO上（不与B、O重合）移动时，如图3，请你画出图形，（1）中的猜想还成立么，若成立，请直接写出结论；不成立请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD=BC=CD，OB=OC=OD，AC⊥BD，∠BDC=45°，得出△OBC是等腰直角三角形，证出CD=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$PQ；
（2）过点P作MN⊥AB于M，交CD于N，则MN=AD=CD=AB，△PDN是等腰直角三角形，∠MPE+MEP=90°，得出PN=DN，证出PM=CN，由角的互余关系证出∠MEP=∠NPC，由AAS证明△PEM≌△CPN，得出PE=CP，同理：△PEQ≌△CPO，由全等三角形的性质得出PQ=CO，即可得出CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ；
（3）同（2）得：△PEQ≌△CPO，得出PQ=CO，即可得出CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ

解答 解：（1）CD=$\sqrt{2}$PQ；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，OB=OC=OD，AC⊥BD，∠BDC=45°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴CD=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$PQ；
故答案为：CD=$\sqrt{2}$PQ；
（2）成立；理由如下：
过点P作MN⊥AB于M，交CD于N，如图2所示：
则MN=AD=CD=AB，△PDN是等腰直角三角形，∠MPE+MEP=90°，
∴PN=DN，
∴PM=CN，
∵PE⊥PC，
∴∠MPE+∠NPC=90°，
∴∠MEP=∠NPC，
在△PEM和△CPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMP=∠PNC=90°}&{\;}\\{∠MEP=∠NPC}&{\;}\\{PM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△CPN（AAS），
∴PE=CP，
同理：△PEQ≌△CPO，
∴PQ=CO，
∴CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ；
（3）成立；理由如下：如图3所示：
同（2）得：△PEQ≌△CPO，
∴PQ=CO，
∴CD=$\sqrt{2}$CO=$\sqrt{2}$PQ．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．