Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx+$\frac{5}{3}$经过点A（-1，0），对称轴方程x=2，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D，连接AC，求AC的长；
（3）求直线AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出解析式；
（2）把（1）求得的解析式转化长顶点式，求得顶点坐标，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+n，把A、C的坐标代入，利用待定系数法即可求得．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\frac{5}{3}=0}\\{-\frac{b}{2a}=2}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$，
则函数解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$．
（2）由y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+3，
∴顶点为（2，3），
∵A（-1，0），
∴AC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{2k+n=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+1．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标，勾股定理的应用等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．