Question

6．已知抛物线C：y=x²-2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，$\frac{1}{2}$）．
（1）求PQ的长度；
（2）将抛物线C向上平移得抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．
①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为D，射线DF与抛物线C′相交于A，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出抛物线与y轴的交点，抛物线解析式化为顶点式，求出点P坐标；
（2）①设抛物线向上平移k个单位，则Q′（0，1+k）．用勾股定理建立方程求出k即可．
②根据AF=AN，用勾股定理，（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=（x²-2x+$\frac{5}{4}$）+y²-y=y²，求出AF=y，再求出直线Q′F的解析式，即可．

解答 解：（1）由题意P（1，0），Q（0，1）
则PQ=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．                         

（2）①设抛物线向上平移k个单位，则Q′（0，1+k）．
∵F（1，$\frac{1}{2}$），O（0，0），FQ′=OQ′，
∴1+（$\frac{1}{2}$+k）²=（1+k）²，
解得k=$\frac{1}{4}$，
∴y=x²-2x+$\frac{5}{4}$，
②设点A（x₀，y₀），则y₀=x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$，
过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x₀，n），

∴AN=y₀-n，其中y₀＞n，
连接FP，
∵F（1，$\frac{1}{2}$），P（1，0），
∴FP⊥x轴，
∴FP∥AN，
∴∠ANF=∠PFN，
连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线，
∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，
∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，
根据勾股定理，得，AF²=（x₀-1）²+（y₀-$\frac{1}{2}$）²，
∴（x₀-1）²+（y₀-$\frac{1}{2}$）²=（x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$）+y₀²-y₀=y₀²，
∴AF=y₀，
∴y₀=y₀-n，
∴n=0，
∴N（x₀，0），
设直线Q′F的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{4}}\\{k+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
由点N在直线Q′F上，得，0=-$\frac{3}{4}$x₀+$\frac{5}{4}$，
∴x₀=$\frac{5}{3}$，
将x₀=$\frac{5}{3}$代入y₀=x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$，
∴y₀=$\frac{25}{36}$，
∴A（$\frac{5}{3}$，$\frac{25}{36}$）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，线段的垂直平分线的判定和性质，解本题的关键是灵活运用勾股定理．