Question

4．半径为r的圆形纸片在边长为a（a≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$r）的正六边形内部任意移动，则在正六边形内部这个圆形纸片“不能接触到的面积”是（　　）

• A． a²（2$\sqrt{3}$-aπ）
• B． r²（2π-$\sqrt{3}$）
• C． a²r²（2$\sqrt{3}$-π）
• D． r²（2$\sqrt{3}$-π）

Answer 1

分析 当⊙O运动到正六边形的角上时，圆与∠ABC两边的切点分别为E，F，连接OE，OF，OB，根据正六边形的性质可知∠ABC=120°，故∠OBF=60°，再由锐角三角函数的定义用r表示出BF的长，可知圆形纸片不能接触到的部分的面积=6×2S_△BOF-S_扇形EOF，由此可得出结论．

解答 解：如图所示，连接OE，OF，OB，
∵此多边形是正六边形，
∴∠ABC=120°，
∴∠OBF=60°．
∵∠OFB=90°，OF=r，
∴BF=$\frac{OF}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积
=6×2S_△BOF-6S_扇形EOF
=6×2×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$r•r-6×$\frac{60π•{r}^{2}}{360}$
=r²（2$\sqrt{3}$-π）．
故选D．

点评 本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．