Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点左边为（

1

2

，

25

4

），交x轴于A（-2，0）、B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D（-1，4）为抛物线上的点，M为y轴正半轴上一点，求使MD+MA值最小时M点坐标；
（3）P是第一象限内抛物线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在一点P使四边形PCMB的面积最大？若存在请求出这个最大值及点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-

1

2

）²+

25

4

，然后将点A的坐标代入求解即可；
（2）求出点A关于y轴的对称点A′坐标，连接A′D，根据轴对称确定最短路线问题，A′D与y轴的交点即为所求的点M，利用待定系数法求出直线A′D的解析式，然后求解即可；
（3）求出点C的坐标，再求出点B的坐标，连接BC，利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求出△BCM的面积，过点P作PQ∥y轴交BC于Q，表示出PQ，然后表示出△PCB的面积，再利用二次函数的最值问题求出△PCB的面积的最大值，然后解答即可．

解答：解：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-

1

2

）²+

25

4

，
将点A（-2，0）代入得，a（-2-

1

2

）²+

25

4

=0，
解得a=-1，
所以，y=-（x-

1

2

）²+

25

4

=-x²+x+6，
即y=-x²+x+6；

（2）点A（-2，0）关于y轴的对称点A′的坐标为（2，0），
连接A′D，
由轴对称确定最短路线问题，A′D与y轴的交点即为所求的点M，
设直线A′D的解析式为y=kx+b，
则

-k+b=4 2k+b=0

，
解得

k=- 4 3 b= 8 3

，
所以，直线A′D的解析式为y=-

4

3

x+

8

3

，
令x=0，则y=

8

3

，
所以，使MD+MA值最小时M点坐标为（0，

8

3

）；

（3）令x=0，则y=6，
所以，点C的坐标为（0，6），
令y=0，则-（x-

1

2

）²+

25

4

=0，
整理得，x²-x-6=0，
解得x₁=-2，x₂=3，
所以，点B的坐标为（3，0），
连接BC，易求直线BC的解析式为y=-2x+6，
MC=6-

8

3

=

10

3

，
S_△BCM=

1

2

×

10

3

×3=5，
所以，△PCB面积最大时，四边形PCMB的面积最大，
过点P作PQ∥y轴交BC于Q，
则PQ=（-x²+x+6）-（-2x+6）=-x²+3x，
S_△PCB=

1

2

×（-x²+3x）×3=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
所以，当x=

3

2

时，S_△PCB有最小值为

27

8

，
此时，y=-（

3

2

-

1

2

）²+

25

4

=

21

4

，
点P的坐标为（

3

2

，

21

4

），
所以，存在一点P（

3

2

，

21

4

），使四边形PCMB的面积最大，最大值为5+

27

8

=

67

8

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，二次函数的最值问题，难点在于（2）确定出点M的位置，（3）把四边形PCMB分成两个三角形求解．