Question

如图，在中， ，点到两边的距离相等，且．

（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；

（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；

（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

【答案】(1)作图见解析；ΔABP是等腰直角三角形. 理由见解析；（2）； （3）.

【解析】（1）依题意，点P既在的平分线上，

又在线段AB的垂直平分线上.

如图1，作的平分线，

作线段的垂直平分线， 与的

交点即为所求的P点。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

是等腰直角三角形.

理由：过点P分别作、，垂足为E、F如图2.

∵平分，、，垂足为E、F，

∴.

又∵ ，∴ ≌.┄┄┄┄┄┄┄┄4分

∴ .

∵，，，

∴， 从而.

又 ∴ 是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄5分

（2）如图2，在中，，

，. ∴.

由≌，≌，

可得，.

∴.

在中，，，，

∴. ∴. ┄┄┄┄6分

所以的周长为：. ┄┄┄┄7分

因为的面积=的面积的面积的面积

==

=（）┄┄9分

或 .

（3）过点分别作、，垂足为、如图3.

∵ .┄┄┄┄10分

由∥得 ①┄┄┄┄┄┄┄┄11分

由∥得 ② ┄┄┄┄┄┄12分

①+②，得 ，即 .

∴ ， 即 ┄┄┄┄13分

【点睛】（1）由题意作出∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线可求出点P，然后证明Rt△APE≌Rt△BPF即可；

（2）由PA=PB，PA=m，可得出 ，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中， PC=n，可知 ，即 ，最后求出周长和面积；

（3）由平行线分线段成比例定理得到 , 是解答本题的关键．

【题型】解答题
【结束】
15

⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接AG、CP、PB．

（1）如图1，求证：AG=CP；

（2）如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：DH∥AG；

（3）如图3，连接PA，延长HD分别与PA、PC相交于点K、F，已知FK=2，△ODH的面积为2，求AC的长．

（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）AC=10 【解析】 试题分析：（1）利用等弧所对的圆周角相等即可求解； （2）利用等弧所对的圆周角相等，得到角相等∠APG=∠CAP，判断出△BOD≌△POH，再得到角相等，从而判断出线平行； （3）由三角形相似，得出比例式，△HON∽△CAM，，再判断出四边形CDHM是平行四边形，最后经过计算即可求解． 试...

Answer 1