Question

如图所示，正方形ABCD的边长为1，多边形PBCQ的一直角顶点P自A沿AC方向运动，一条直角边恒过点B，另一条直角边与DC恒有公共点Q，图形PBCQ的最小面积为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且夹边PT=PN，利用ASA得到三角形PBT与三角形PQN全等，得到四边形PBCQ面积=三角形PBT面积+四边形PTCQ=三角形PQN面积+四边形PTCQ面积=正方形PTCN面积，进而得到Q与C重合，即BP垂直于AC时，四边形PBCQ面积最小，且等于正方形ABCD面积的四分之一，求出即可．

解答：解：∵∠BPT+∠TPQ=90°，∠TPQ+∠QPN=90°，
∴∠BPT=∠QPN，
在△PBT和△PQN中，

∠BPT=∠QPN PT=PN ∠PTB=∠PNQ=90°

，
∴△PBT≌△PQN（ASA），
∴S_{四边形PBCQ}=S_△PBT+S_{四边形PTQC}=S_△PQN+S_{四边形PTQC}=S_{正方形PTCN}，
则当Q与C重合，即BP⊥AC时，S_{四边形PBCQ}=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．
故答案为：

1

4

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．