Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE=$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠GCE=∠B=60°，证出EF⊥DG，由含30°角的直角三角形的性质得出CG=$\frac{1}{2}$CE=1，求出EG=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$，DG=CD+CG=4，由勾股定理求出DE即可．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，
∴∠GCE=∠B=60°，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE=2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G=90°，
∴CG=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴EG=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$，DG=CD+CG=3+1=4，
∴DE=$\sqrt{E{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{19}$；
故答案为：$\sqrt{19}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CG是解决问题的关键．