Question

16．如图，Rt△ABC中，∠BAC=60°，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连接OD．由切线的性质可知OD⊥BC，从而可证明AC∥OD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证明∠CAD=∠OAD；
（2）连接OE，ED、OD．先证明ED∥AO，然后依据同底等高的两个三角形的面积相等可知S_△AED=S_△EDO，于是将阴影部分的面积可转化为扇形EOD的面积求解即可．

解答 解：（1）连接OD．

∵BC是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BC．
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD=30°．
（2）连接OE，ED．

∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形．
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°．
又∵∠CAB=60°，∠CAD=30°，
∴∠DAO=30°．
∴∠ADE=∠OAD．
∴ED∥AO．
∴S_△AED=S_△EDO．
∴阴影部分的面积=S_扇形EOD=$\frac{60×π×4}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题主要考查的是切线的性质、平行线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，将阴影部分的面积转化为扇形EOD的面积求解是解题的关键．