Question

4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）两点，且a、b满足（3a-2b）²+|a-b-1|=0，点C（m，0）在x轴的正半轴上，将线段AB平移到DC，连接对应点A、D和B、C，请回答下列问题：
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设四边形ABCD的面积满足9＜S_{四边形ABCD}＜15，求m的取值范围；
（3）分别作∠OAD、∠OBC的平分线AE、BE，交点为E，请直接写出∠AEB的度数（不必说明理由）．

Answer 1

分析 （1）利用非负性转化成两个方程，求出a，b，从而确定出点A，B坐标；
（2）先确定出S_△ABC=S_△ADC，再求出四边形的面积的范围建立不等式组，求解即可，
（3）利用平移和直角三角形两锐角互余，求出，∠DAC+∠OBC=90°，再借助角平分线求出，∠EAC+∠CBE=45°．从而求出，∠EAB+∠EBA=135°．

解答 解：（1）∵（3a-2b）²+|a-b-1|=0，
∴3a-2b=0，a-b-1=0，
∴a=-2，b=-3，
∴A（-2，0），B（0，-3）；
（2）∵B（0，-3），
∴OB=3，
∵将线段AB平移到DC，连接对应点A、D和B、C，
∴S_△ABC=S_△ADC，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$AC×OB=3（m+2），
∵9＜S_{四边形ABCD}＜15，
∴9＜3（m+2）＜15，
∴1＜m＜3；
（3）由平移得，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠DAC+∠OAB+∠ABO+∠OBC=180°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAC+∠OBC=90°，
∵∠OAD、∠OBC的平分线AE、BE，交点为E，
∴2∠EAC=∠DAC，2∠CBE=∠CBO，
∴∠EAC+∠CBE=45°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°+45°=135°，
∴∠AEB=180°-（∠EAB+∠EBA）=180°-135°=45°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了，非负性的应用，面积的计算，解不等式组，解方程，角平分线的性质，直角三角形的直线，解本题的关键，非负性的应用和判定∠EAC+∠CBE=45°．