Question

9．已知：∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，E为AB边上的一点．作BF⊥CE于点F，交CD于点G，过点A作AH⊥CE于点H．

（1）如图1，求线段BF，AH，FH的关系；
（2）如图2，连接FD，DH，试判断△FDH的形状；
（3）如图3，延长AH，CD交于点M，求证：BE=CM．

Answer 1

分析 （1）证明△BFC≌△CHA，得BF=CH，由此可得BF=AH+FH；
（2）证明△AHD≌△DFC可得DH=DF，在证明∠FDH=90°，由此可知△FDH为等腰直角三角形；
（3）证明△BFE≌△CHM即可．

解答 解：（1）∵BF⊥CE于点F，交CD于点G，AH⊥CE于点H，
∴∠ACH=∠CFB=90°．
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°，
又∠HAE=∠FBE，∠AEH=∠FEB，
∴∠HAE=∠EBF，
又∵∠ACE+∠HAE=∠EBF+∠FBC=45°，
∴∠ACH=∠CBF．
在△BFC和△CHA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFG=∠CHA}\\{∠ACH=∠CBF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△BFC≌△CHA（AAS）
∴BF=CH，CF=AH，
∵CH=CF+FH，
∴BF=AH+FH
即：线段BF，AH，FH的关系为：BF=AH+FH
（2）△FDH为等腰直角三角形，理由：
∵在Rt△CDE和Rt△BFE中，∠CED=∠BEF
∴∠FBE=∠DCE，
即：∠HAD=∠FCD．
在△AHD和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠FCD=∠HAD}\\{CH=CF}\end{array}\right.$
∴△AHD≌△DFC（SAS）
∴HD=DF
又∵∠CDF+∠FDE=90°，
∴∠FDE=∠EDH=90°，
即：∠FDH=90°，
∴△FDH为等腰直角三角形．
（3）由（1）可知，BF=CH，∠HCM=∠FBE，
在△BFE与△CHM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HCM=∠FBE}\\{BF=CH}\\{∠CHM=∠BFE=90°}\end{array}\right.$
∴△BFE≌△CHM（ASA），
∴BE=CM．

点评 本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是把所求等量关系转化为证明相应的三角形全等．