Question

15．如图，在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，点F从点C开始沿边CD以2cm/s的速度向点D移动．
（1）求△CEF的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）当t为何值时，△CEF的面积为16cm²？
（3）△CEF的面积能为20cm²吗？如果能，求出此时CE的长度；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用含t的代数式表述出CE、CF，通过直角三角形CEF的面积把S与t连接起来．由于E、F只能在BC、CD上移动，可确定t的取值范围；
（2）把S=16代入函数关系式，解一元二次方程求出t的值；
（3）把S=20代入函数关系式，若方程有解，则有t满足△CEF的面积为20cm²，求出CE，反之△CEF的面积不能为20m²．

解答 解：（1）CE=BC-BE=12-2t，
∵0＜CE＜12，∴0＜t＜6
ts时，CE=BC-BE=12-2t，CF=2t，
在RT△CEF中，
∵△CEF=$\frac{1}{2}$CE×CF=$\frac{1}{2}$（12-2t）×2t=12t-2t²．
∴S=12t-2t²（0＜t＜6）．
（2）当S=16时，12t-2t²=16，
即t²-6t+8=0，
解得：t₁=2，t₂=4．
当t为2s或4s时，△CEF的面积为16cm²．
（3）△CEF的面积不能为20m²．
把S=20代入函数关系式，得12t-2t²=20，
即t²-6t+10=0，
∵△=b²-4ac=（-6）²-4×1×10=-4＜0，
∴原方程无实数根．
即没有t满足△CEF的面积能为20cm²．

点评 此题是个含动点类的题目，考察了直角三角形的面积、写二次函数表达式、²²解一元二次方程及根的判别式．利用直角三角形的面积，把几何问题转化为函数关系，是解决本题的关键．