Question

6．如图，△DAE，△CBE中，∠DAE=∠CBE=90°，∠DEA=∠CEB=60°，点F为线段CD的中点．

（1）如图1，当点E在线段AB上时，判断△ABF的形状，并加以证明；
（2）如图2，当A，E，B三点不共线时，（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请加以证明．

Answer 1

分析 （1）△ABF是等边三角形，先证明△ADF≌△GCF，再由△ADE∽△BCE得$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，得CE∥AG，由此即可证明．
（2）结论不变，延长AF到G使得FG=AF，连接BG、AB，由△GCB∽△AEB，∠GBC=∠ABE，$\frac{AB}{BG}$=$\frac{EB}{BC}$得∠ABG=∠EBC=90°，再证明△ABG∽△EBC即可解决问题．

解答 （1）结论：△ABF是等边三角形．
证明：如图延长AF、BC交于点G．
∵∠DAE=∠CBE=90°，
∴∠DAE+∠CBE=180°，
∴AD∥BG，
∴∠ADF=∠GCF，
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠GCF}\\{∠DFC=∠GFC}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG，
∵∠ABG=90°，
∴FB=AF=FG，
∵∠DAE=∠CBE，∠DEA=∠CEB=60°，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，
∴EC∥AG，
∴∠GAB=∠CEB=60°，
∵FA=FB，
∴△FAB是等边三角形．
（2）结论不变．
证明：如图2中，延长AF到G使得FG=AF，连接BG、AB．
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠DFA=∠CFG}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG，
∵∠DAE=∠CBE，∠DEA=∠CEB=60°，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，
∴$\frac{BC}{EB}$=$\frac{CG}{AE}$，
∴∠GAB=∠CEB=60°，∵FA=FB，
∴△FAB是等边三角形
∵∠GCB=∠GCF+∠DCE+∠ECB=∠FDA+∠DCE+30°=30°+∠EDC+∠DCE+30°=60°+∠EDC+∠DCE，
∠AEB=360°-∠DEA-∠CEB-∠DEC=360°-60°-60°-（180°-∠EDC-∠DCE）=60°+∠EDC+∠DCE
∴GCB=∠AEB，
∴△GCB∽△AEB，
∴∠GBC=∠ABE，$\frac{AB}{BG}$=$\frac{EB}{BC}$
∴∠ABG=∠EBC=90°，
∵AF=FG，
∴FB=AF=FG，
∵$\frac{AB}{GB}=\frac{EB}{BC}$，∠ABG=∠EBC，
∴△ABG∽△EBC，
∴∠GAB=∠CEB=60°，
∵FA=FB，
∴△FAB是等边三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形，第二个问题比较难，用了多次相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题．