Question

8．如图，共顶点A的两个正方形ABCD、AEFG，连接DG、BE，且BE交DG于M点，交AG于N点．求证：
（1）DG=BE；
（2）DG⊥BE．

Answer 1

分析 （1）通过全等三角形（△DAG≌△BAE）的对应边相等证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠DGA=∠AEB，所以在△AEN和△MNG中，利用三角形内角和定理推知∠GMN=90°即可．

解答 证明：（1）∵∠DAB=∠GAE=90°，
∴∠DAB+∠GAB=∠GAE+∠GAB，即：∠DAG=∠BAE，
在△DAG与△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴DG=BE；

（2）由（1）知，△DAG≌△BAE，则∠DGA=∠AEB，即MGN=∠AEN，
∵∠ANE=∠GNB，
∴∠NAE=∠GMN=90°，
∴DG⊥BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．