Question

如图：AB是半圆的直径，∠ABC的平分线交半圆于D，AD和BC的延长线交于圆外一点E，连结CD．
（1）求证：△EDC是等腰三角形．
（2）若AB=5，BC=3，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ADB=∠ACB=90°，加上∠ABC的平分线交半圆于D，根据等腰三角形的判定得BA=BE，再根据等腰三角形的性质得AD=ED，即可得到CD为直角三角形ACE斜边上的中线，所以CD=DE=AD，因此可判断△EDC是等腰三角形；
（2）先利用BA=BE=5得到CE=EB-CB=2，利用勾股定理，在Rt△ACE中计算出AE=2

5

，在Rt△ABC中计算出AC=4，利用三角形面积公式得到S_△ABE=

1

2

AC•BE=10，再证明△ECD∽△EAB，利用相似的性质求出S_△ECD=2，然后利用四边形ABCD的面积=S_△ABE-S_△ECD进行计算．．

解答：（1）证明：∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵∠ABC的平分线交半圆于D，
∴BA=BE，
∴AD=ED，
∴CD为直角三角形ACE斜边上的中线，
∴CD=DE=AD，
∴△EDC是等腰三角形；
（2）解：∵BA=BE=5，
∴CE=EB-CB=2，
在Rt△ACE中，AE=

AC2+CE2

=2

5

，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4，
∴S_△ABE=

1

2

AC•BE=

1

2

×4×5=10，
∵∠EDC=∠EBA，
而∠DEC=∠BEA，
∴△ECD∽△EAB，
∴

S△ECD

S△EAB

=（

EC

EA

）²，即S_△ECD=10×（

2

2 5

）²=2，
∴四边形ABCD的面积=S_△ABE-S_△ECD=10-2=8．

点评：本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．