已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A.B两点.且A.B两点的坐标分别为.与y轴交于点C.连接BC.以BC为一边.点O为对称中心作菱形BDEC.点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为(m.0).过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q.交BD于点M．(1)求抛物线的解析式,(2)当点P在线段OB上运动时.试探究m为何值时.四边形CQMD是平行四边形?的结论下.试问抛物线上是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的左侧）且A，B两点的坐标分别为（-2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法即可求得．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQMD的形状；
（3）要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，可判断四边形CQBN是平行四边形，解得此时点N的坐标即可．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-2，0），B（8，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b-4}\\{0=64a+8b-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）∵C（0，-4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4），点Q的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（ $\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4）．
化简得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合题意舍去），m₂=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，
N点到BC的距离与Q到BC的距离相等；所以过M或Q点的斜率为$\frac{1}{2}$的直线与抛物线的交点即为所求
M（4，2），Q（4，-6）
设直线l：y=$\frac{1}{2}$x+b
①当直线l过Q点时，
可求l：y=$\frac{1}{2}$x-8
联立抛物线方程，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{2}$x-8；解得x₁=x₂=4（与Q重合，舍去）
②当直线过M点时，可求，
l：y=$\frac{1}{2}x$，
联立抛物线方程，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{2}$x；解得x₁=4+$4\sqrt{2}$，x₂=4-$4\sqrt{2}$，代入直线方程，求得
N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
故符合条件的N的坐标为N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．