Question

6．（1）将抛物线y₁=2x²向右平移2个单位，得到抛物线y₂的图象，求y₂的解析式；
（2）如图，P是抛物线y₂对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值．

Answer 1

分析 （1）根据平移规律“左加右减，上加下减”的规律即可写出函数解析式．
（2）设A（t，t），B（t，2t²-8t+8），则AB=|t-（2t²-8t+8）|=|2t²-9t+8|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB=90°，PA=AB=|t-2|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，PB=AB=|t-2|；分别列方程求k的值．

解答 解：（1）∵抛物线y₂的图象是由抛物线y₁=2x²向右平移2个单位得到，
∴y₂=2（x-2）²．

（2）∵y=2（x-2）²
∴y=2x²-8x+8，
∵直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=2x²-8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t²-8t+8），AB=|t-（2t²-8t+8）|=|2t²-9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|t-2|，
即|2t²-9t+8|=|t-2|，
∴2t²-9t+8=t-2，或2t²-9t+8=2-t，
解得t=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|t-2|，结果同上．
故答案为：$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$或1或3．

点评 本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据函数解析式表示A、B两点坐标，再表示线段AB，根据题意，列方程求解，属于中考常考题型．