Question

当a在什么范围内取值时，方程|x²-5x|=a有且只有相异实数根？

Answer 1

∵方程|x²-5x|=a有且只有相异实数根，
∴a≥0，①
当a=0时，x²-5x=0，解得x₁=0，x₂=5，方程有相异实数根
当a＞0时，
原方程化为：x²-5x+a=0或x²-5x-a=0；
∵方程x²-5x-a=0的△=5²-4×（-a）=25+4a＞0，解得a＞-

25

4

②；
∴此方程总有相异实数根，
而方程|x²-5x|=a有且只有相异实数根，
∴方程x²-5x+a=0没实数根，
∴△′＜0，即△′=5²-4a=25-4a＜0，解得a＞

25

4

③；
由①②③可得a的取值范围为a＞

25

4

或a=0．