Question

（2012•红桥区二模）已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为-

1

a

（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-BM的值为常数？
（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x-

a

4

上，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先利用抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为-

1

a

求出抛物线解析式，再利用a=1求出抛物线的顶点坐标即可；
（Ⅱ）利用当y=0时，有-

1

a

x2+(1+

1

a

)x=0，求出x的值，进而得出点N的坐标，再利用若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a-1；若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1-a得出答案即可；
（Ⅲ）利用平移后的抛物线只有一个不动点，故此方程有两个相等的实数根，得出判别式△=（a-2h）²-4（h²-ak）=0，进而求出k与h，a的关系即可得出顶点（h，k）在直线y=x-

a

4

上．

解答：解：设该抛物线的解析式为y=-

1

a

x2+bx+c，
∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点，
∴

c=0 - 1 a +b+c=1

，
解得

b=1+ 1 a c=0

．
∴该抛物线的解析式为y=-

1

a

x2+(1+

1

a

)x
（Ⅰ）当a=1时，该抛物线的解析式为y=-x²+2x，
y=-x²+2x=-（x²-2x+1）+1=-（x-1）²+1．
该抛物线的顶点坐标为（1，1）；

（Ⅱ）∵点N在x轴上，∴点N的纵坐标为0．
当y=0时，有-

1

a

x2+(1+

1

a

)x=0，
解得x₁=0，x₂=a+1．
∵点N异于原点，∴点N的坐标为（a+1，0）．
∴ON=a+1，
∵点M在射线AB上，∴点M的纵坐标为1．
当y=1时，有-

1

a

x2+(1+

1

a

)x=1，
整理得出

1

a

x2-(1+

1

a

)x+1=0，
解得x₁=1，x₂=a．
点M的坐标为（1，1）或（a，1）．
当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合，
此时a=1，BM=0，ON=2．ON+BM与ON-BM的值都是常数2．
当点M的坐标为（a，1）时，
若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a-1．
∴ON+BM=（a+1）+（a-1）=2a，ON-BM=（a+1）-（a-1）=2．
若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1-a．
∴ON+BM=（a+1）+（1-a）=2，ON-BM=（a+1）-（1-a）=2a．
∴当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2，
当a≥1时，ON-BM的值是常数2．

（Ⅲ）设平移后的抛物线的解析式为y=-

1

a

(x-h)2+k，
由不动点的定义，得方程：t=-

1

a

(t-h)2+k，
即t²+（a-2h）t+h²-ak=0．
∵平移后的抛物线只有一个不动点，∴此方程有两个相等的实数根．
∴判别式△=（a-2h）²-4（h²-ak）=0，
有a-4h+4k=0，即k=h-

a

4

．
∴顶点（h，k）在直线y=x-

a

4

上．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及根的判别式的性质等知识，利用分类讨论的思想得出M与B的不同位置关系得出答案是解题关键．