Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，AD=3，点M是边BC上的动点（点M不与点B，点C重合），过点M作直线MN∥BD，交CD边于点N，再把△CMN沿着动直线MN对折，点C的对应点是P点，设CM的长度为x．
（1）求∠CMN的度数；
（2）当x取何值时，点P落在矩形ABCD的对角线BD上？
（3）当x在什么范围内取值时，点P落在△ABD的内部？
（提示：对（2）、（3）两问在备用图中画出满足条件的图形，再解答）

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABD中，根据AB、AD的长，即可求出∠ABD的度数，也就得到∠CBD的度数；而∠CMN和∠CBD是平行线的同位角，因此这两角相等，由此得出∠CMN的度数；
（2）如备用图1，点P在BD上时．根据折叠的性质和（1）中的结论可以推知△PMB为等边三角形，则点M为BC的中点；
（3）当P在AB上时，△MBP为直角三角形，且∠BMP=60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质MP=MC=x，然后用x表示出BM的长，可根据∠PBM的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°．
在Rt△ABD中，AB=3

3

，AD=3，则tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3 3

=

3

3

，即∠ABD=30°．
∴∠CBD=60°．
∵MN∥BD，
∴∠CMN=∠CBD=60°．

（2）如备用图1，由轴对称的性质可知，△PMN≌△CMN，
∴∠PMN=∠CMN，PM=CM．
由（1）知∠PMN=∠CMN=60°，
∴∠PMB=60°，
∴∠PMB=∠PBM=60°，
∴PM=BM，
∴CM=BM，即点M是BC的中点，则x=

1

2

BC=

1

2

AD=1.5；

（3）如备用图2，由轴对称的性质可知，△PMN≌△CMN，
∴∠PMN=∠CMN，PM=CM=x．
由（1）知∠PMN=∠CMN=60°，
∴∠PMB=60°，
∴∠MPB=30°，
∴MP=2MB．
∴在△MPB中，根据题意得：x=2（3-x），
解得：x=2．
由（2）知，当点P在BD上时，x=1.5，
∴当1.5＜x＜2时，点P落在△ABD的内部．

点评：本题考查了四边形综合题．其中涉及到了矩形的性质、翻折变换以及含30度角的直角三角形．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．