Question

14．已知：如图，∠C=∠B=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请证明你的结论．
（2）线段AM与DM有怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作ME⊥AD于点E，证明△AEM≌△ABM就可以得出∠EAM=∠DAB，从而得出AM平分∠DAB；
（2）由全等可以得出∠DMC=∠DME，∠AME=∠AMB就可以得出∠AMD=90°就可以得出结论．

解答 解：（1）AM是平分∠DAB．
理由：作ME⊥AD于点E，
∴∠AEM=∠DEM=90°．
∵DM平分∠ADC，
∴∠EDM=∠CDM．
∵∠C=∠B=90°，
∴∠B=∠AEM．∠DEM=∠C．
∴ME=MC．
∵M是BC的中点，
∴BM=CM．
∴BM=EM．
在Rt△AEM和Rt△ABM中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{EM=BM}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△ABM（HL），
∴∠EAM=∠BAM，∠AME=∠AMB，
∴AM是平分∠DAB；
（2）AM⊥DM．
理由：在Rt△MDE和Rt△MDC中
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{ME=MC}\end{array}\right.$，
∴Rt△MDE≌Rt△MDC（HL），
∴∠EMD=∠CMD，
∵∠EMD+∠CMD+∠AME+∠AMB=180°
∴2∠EMD+2∠AME=180°，
∴∠EMD+∠AME=90°
∴∠AMD=90°
∴AM⊥DM．

点评 本题考查了中点的定义的运用，角平分线的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．