Question

9．如图，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=3cm，DE=5cm，以AE为边向外作正方形ABCE，O为正方形ABCE的中心，则△DOE的面积为10cm²．

Answer 1

分析 作CF⊥DE于F，OH⊥DE于H，连结AC，如图，根据正方形的性质得到点O在AC上，OA=OC，EA=EC，∠AEC=90°，再利用“AAS”证明△ADE≌△EFC，得到EF=AD=3，DE=CF=5，接着证明OH为梯形ADFC的中位线，则OH=$\frac{1}{2}$（AD+CF）=4，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：作CF⊥DE于F，OH⊥DE于H，连结AC，如图，
∵四边形ABCE为正方形，
∴点O在AC上，OA=OC，EA=EC，∠AEC=90°，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
在△ADE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠EFC}\\{∠DAE=∠EFC}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△EFC（AAS），
∴EF=AD=3，DE=CF=5，
∵AD∥OH∥CF，
∵OA=OC，
∴OH为梯形ADFC的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$（AD+CF）=4，
∴△DOE的面积=$\frac{1}{2}$OH•DE=$\frac{1}{2}$×4×5=10（cm²）．
故答案为10cm²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了正方形的性质．