Question

3．如图所示，P是线段AB上一点，△APC和△BPD都是正三角形，AD与PC交于点E，BC与PD交于点F，连接EF，试探究△PEF的形状．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得出PA=PC，PD=PB，∠APC=○BPD=60°，求出∠CPF=60°，∠APD=∠BPC=120°，根据SAS推出△APD≌△CPB，根据全等得出∠PAE=∠PCF，根据ASA推出△PAE≌△PCF，根据全等得出PE=PF，根据等边三角形的判定得出即可．

解答 解：△PEF是等边三角形，
理由是：∵△APC和△BPD都是正三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=○BPD=60°，
∴∠CPF=60°，∠APD=∠BPC=120°，
在△APD和△CPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC}\\{∠APD=∠CPB}\\{PD=PB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠PAE=∠PCF，
在△PAE和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠PCF}\\{PA=PC}\\{∠APC=∠CPF=60°}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PCF（ASA），
∴PE=PF，
∵∠EPF=60°，
∴△PEF是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出PE=PF，注意：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，难度适中．